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内容概述 运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题．这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子． 典型问题 1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？ 【分析与解】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…， 这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数． 有1989÷8=248……5，所以最多可以选248×4+4=996个数． 评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个. 2．从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？ 【分析与解】1，3，6，8，11，13，16，18，21，…， 这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数． 1993÷5=398……3.所以最多可以选398×2+2=798个数． 评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，…， 这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数． 但是此时最多只能选出398×2+l=797个数． 3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍? 【分析与解】 方法一：直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数； 而从2开始选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数． 3包含在组内，因此只用考虑这两种情况即可． 所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数． 方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数． 所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数． 4．从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数? 【分析与解】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍. 3×33：99，于是从35开始，1 99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可． 共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数． 方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组． (1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)， (23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组． 前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一 个数． 即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的 倍数． 评注：1 2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍； 从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍； 从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍； 从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数). 5．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数． 【分析与解】 因为两个不同的两位数相减得到的差不可能为三位或三位以上的数．如果这个差是1l的倍数，那么一定有这个差的个位与十位数字相同． 两个数的差除以1l的余数有0、1、2、3、…、10这11种情况．将这11种情况视为11个抽屉． 将12个数视为12个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽屉，也就是说有两个数除以11的余数相同，那么它们的差一定是11的倍数． 而两个两位数的差一定是一个两位数，如果这个差是11的倍数，那么就有个数与十位数字相等．问题得证． 评注：抽屉原理一：将n+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素． 抽屉原理二：将nr+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素． 抽屉原理三：将m个元素放到n个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有 个元素． 6．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数? 【分析与解】 利用除以7的余数分类： 余0：(7，14，21，28，35，42，49)； 余1：(1，8，15，22，29，36，43，50)； 余2：(2，9，16，23，30，37，44)； 余3：(3，10，17，24，31，38，45)； 余4：(4，11，18，25，32，39，46)； 余5：(5，12，19，26，33，40，47)； 余6：(6，13，20，27，34，41，48)． 第一组内的数最多只能取1个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数． 第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数．
六年级奥数-第九讲.复杂抽屉原理..doc
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